Trong vi tích phân E (số)

Đồ thị của hàm x ↦ ax với a = 2 (đường kẻ chấm), a = e (đường màu xanh) và a = 4 (đường nét đứt). Chúng đều đi qua điểm (0,1), nhưng đường màu đỏ (hệ số góc là 1) chỉ là tiếp tuyến của hàm ex tại đó.Logarit tự nhiên của số e hay ln(e) bằng 1.

Cơ sở chủ yếu cho sự ra đời của số e, đặc biệt trong vi tích phân là từ các phép tính vi phân và tích phân với các hàm mũ và logarit.[21] Tổng quát, hàm mũ y = ax có đạo hàm được cho bởi giới hạn:

d d x a x = lim h → 0 a x + h − a x h = lim h → 0 a x a h − a x h = a x ⋅ ( lim h → 0 a h − 1 h ) . {\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {d}{dx}}a^{x}&=\lim _{h\to 0}{\frac {a^{x+h}-a^{x}}{h}}=\lim _{h\to 0}{\frac {a^{x}a^{h}-a^{x}}{h}}\\&=a^{x}\cdot \left(\lim _{h\to 0}{\frac {a^{h}-1}{h}}\right).\end{aligned}}}

Giới hạn trong ngoặc ở vế phải độc lập với biến x và chỉ phụ thuộc vào cơ số a. Khi cơ số đó bằng e thì giới hạn trên bằng 1 nên e được định nghĩa tượng trưng bởi phương trình:

d d x e x = e x . {\displaystyle {\frac {d}{dx}}e^{x}=e^{x}.}

Do đó, hàm mũ cơ số e rất phù hợp cho việc tính vi tích phân, vì nó giúp đơn giản hóa nhiều phép tính liên quan đến đạo hàm.

Một cách tiếp cận khác đến từ việc tính đạo hàm của logarit cơ số a (loga x) với x > 0:[22]

d d x log a ⁡ x = lim h → 0 log a ⁡ ( x + h ) − log a ⁡ ( x ) h = lim h → 0 log a ⁡ ( 1 + h / x ) x ⋅ h / x = 1 x log a ⁡ ( lim u → 0 ( 1 + u ) 1 u ) = 1 x log a ⁡ e , {\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {d}{dx}}\log _{a}x&=\lim _{h\to 0}{\frac {\log _{a}(x+h)-\log _{a}(x)}{h}}\\&=\lim _{h\to 0}{\frac {\log _{a}(1+h/x)}{x\cdot h/x}}\\&={\frac {1}{x}}\log _{a}\left(\lim _{u\to 0}(1+u)^{\frac {1}{u}}\right)\\&={\frac {1}{x}}\log _{a}e,\end{aligned}}}

trong đó đặt u = h/x. Logarit cơ số a của e bằng 1 nếu a bằng e, do đó

d d x log e ⁡ x = 1 x . {\displaystyle {\frac {d}{dx}}\log _{e}x={\frac {1}{x}}.}

Logarit với cơ số đặc biệt này được gọi là logarit tự nhiên và được ký hiệu là ln, giúp đơn giản hóa phép vi phân do không cần tìm các giới hạn chưa biết.

Như vậy, có hai cách để tìm một số a đặc biệt như thế. Cách thứ nhất là cho đạo hàm của hàm mũ ax bằng với ax rồi giải phương trình để tìm a. Cách thứ hai là cho đạo hàm của logarit cơ số a bằng 1/x và giải tương tự. Cả hai nghiệm a thu được thực chất là giống nhau và bằng số e.

Các cách biểu diễn thay thế

Xem thêm: § Biểu diễn, và Biểu diễn của hàm mũ

Cả năm vùng được tô màu đều có diện tích bằng nhau và xác định đơn vị của góc hyperbol dọc theo hyperbol x y = 1 {\displaystyle xy=1} .

Có nhiều cách biểu diễn số e: giới hạn của một dãy, tổng của một chuỗi vô hạn hay các biểu thức liên quan đến giải tích tích phân. Trên đây, ta đã biết được hai tính chất:

e là số thực dương duy nhất sao cho d d t e t = e t {\displaystyle {\frac {d}{dt}}e^{t}=e^{t}} .
e là số thực dương duy nhất sao cho d d t log e ⁡ t = 1 t {\displaystyle {\frac {d}{dt}}\log _{e}t={\frac {1}{t}}} .

Bốn cách biểu diễn sau cũng được chứng minh là tương tự như trên:

e là giới hạn e = lim n → ∞ ( 1 + 1 n ) n {\displaystyle e=\lim _{n\to \infty }\left(1+{\frac {1}{n}}\right)^{n}}
Tương tự:[23]
e = lim t → 0 ( 1 + t ) 1 t {\displaystyle e=\lim _{t\to 0}\left(1+t\right)^{\frac {1}{t}}}
e là tổng của chuỗi vô hạn e = ∑ n = 0 ∞ 1 n ! = 1 0 ! + 1 1 ! + 1 2 ! + 1 3 ! + 1 4 ! + ⋯ , {\displaystyle e=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {1}{n!}}={\frac {1}{0!}}+{\frac {1}{1!}}+{\frac {1}{2!}}+{\frac {1}{3!}}+{\frac {1}{4!}}+\cdots ,} với n! là giai thừa của n. (Theo quy ước, 0 ! = 1 {\displaystyle {0!}=1} .)
e là số thực dương duy nhất sao cho ∫ 1 e 1 t d t = 1. {\displaystyle \int _{1}^{e}{\frac {1}{t}}\,dt=1.}
Nếu f(t) là hàm mũ thì tỉ số τ = f ( t ) / f ′ ( t ) {\displaystyle \tau =f(t)/f'(t)} là không đổi, thỉnh thoảng được gọi là hằng số thời gian (nghịch đảo của hằng số tăng trưởng theo cấp số nhân hoặc hằng số phân rã). Hằng số thời gian là thời gian để một hàm mũ tăng e lần: f ( t + τ ) = e f ( t ) {\displaystyle f(t+\tau )=ef(t)} .